谢胜利相关研究成果介绍②：联合对角化不能只追求误差小，还得保证算出来的矩阵别太病态

联合对角化不能只追求误差小，还得保证算出来的矩阵别太病态

一、研究背景与问题提出

联合对角化是盲源分离和独立成分分析中的基础工具，但在真正使用时，工程上关心的从来不只是“能否对角化”。如果得到的 diagonalizer 条件数很差，后续分离过程依旧可能不稳定。2009 年这篇论文抓住的正是这个长期存在却经常被弱化的问题。

作者指出，过去很多算法会额外给 diagonalizer 加上一些约束，让结果看起来更合理，但这些约束往往是零散的、经验式的，并没有形成统一原则。论文的出发点因此非常清晰：既然这些约束本质上都在防止病态解，那么不如直接把 diagonalizer 的 condition number 纳入目标函数，和对角化误差一起优化。

二、核心方法与关键机制

基于这个判断，文章第一次把近似联合对角化明确重写为一个 multiobjective optimization 问题。一个目标是让一组矩阵尽可能被同时对角化，另一个目标则是让求得的 diagonalizer 条件数尽可能小。这样一来，算法追求的就不再只是“误差最小”，而是“误差小且数值稳定”的可用解。

论文核心结果图：对角化误差与对角化矩阵条件数之间关系的典型示意。

这一重写的价值非常大，因为它把以前分散在各种附加约束中的工程需求统一成了一个更干净的问题表达。作者提出的非正交近似联合对角化算法，也正是围绕这种统一目标展开，因此它能在减少对目标矩阵额外限制的同时，严格规避退化解。

论文还给出了收敛性的初步结果，并且讨论了精确可联合对角化情形下的唯一性与局部极小问题。对于这类矩阵算法来说，这一点非常重要，因为它意味着方法不仅在实验上能跑，还在理论上开始说明“为什么这类解值得信任”。

三、实验结果与结论

实验结果清楚表明，这种同时控制误差和条件数的思路能得到更稳定的 diagonalizer，尤其在混合矩阵本身就病态的盲源分离问题中优势更明显。也就是说，论文并不是只做了一个理论上更优雅的改写，而是真的改善了实际分离质量。

作者的关键结论是，对角化误差最小并不等于结果最合理；只有把条件数控制纳入核心目标，联合对角化才真正具备工程上的可用性。这个判断把问题从“分解得出来”推进到了“分解得稳、分解得可靠”。

四、研究价值与启示

在基础方法层面的特色：既看矩阵分解本身，也盯着数值稳定性和后续应用之间的联系。它让联合对角化从一个纯算法问题，变成了一个兼顾数学结构和工程可靠性的系统问题。

作者简介：谢胜利，广东工业大学自动化学院教授、博士生导师。长期从事控制、信号处理与智能信息处理等领域的教学与研究，研究工作涉及无线通信与网络、物联网信息技术等方向。现为国家杰出青年科学基金获得者、国家自然科学二等奖第一完成人。